Ecuacion_y_lapiz
Sala de Maestros

Ventaja del pensamiento

Cesar Ortega Juárez


Las para jodas de las paradojas

Para Don Sofío,
que no nació en Bulgaria,
sí en Hidalgo.

Una paradoja se puede entender de dos maneras: a) lo que es aunque no parezca que es, y b) lo que no es aunque parezca que es.

Veamos: De un pueblo se van dos padres y dos hijos, en total se han ido tres personas. Aquí, parece que esto no es posible, diría Don Sofío, “son cuatro, dos más dos, eso da”. Y, sí, así es, no parece que sea esto posible. Pero, sí es cierto sólo se fueron tres personas. Son el abuelo, el hijo y el nieto. Paradoja del primer tipo, y, por cierto no fue mucha la dificultad de resolverla, habrá otras en las que auténticamente es una para joda —divertida y constructiva— encontrar el por qué.

Del tipo b), y por encargo del mismo Don Sofío:

Supongamos: a=b

Multiplicamos por a ambos miembros: a2=ab

Restamos b2: a2-b2=ab-b2

Factorizando: (a+b)=b (a-b)

Dividiendo entre a-b: a+b=b

Sustituyedo a por b: b+b=b

2b=b
“cualquier número es igual a su doble”

En particular, si b=1, nos queda, el encargo de Don Sofío,
¡¡¡2=1!!!

En esta paradoja parece que todo está bien hecho conforme al álgebra, es decir parece que es, pero, desde luego NO es 2 igual a uno. No es mucha para joda descubrirla, no lo haré para que usted, amable lector, se divierta y cree otras. Por ejemplo, podría intentar que todo número sea igual a su triple.

Casi todas las paradojas en Matemática son del tipo b.

Otra más: Se pide resolver la siguiente ecuación:

Efectuando operaciones en el primer miembro:

Ahora aplicaremos: “En la igualdad de dos números racionales, si los numeradores son iguales los denominadores también lo serán” En lenguaje matemático:
Si :

Bien, regresemos Don Sofío:

Si aplico bien usted lo anterior tiene:

7-x=13-x

Si suma usted x a cada miembro, le queda:

7=13

Dos pequeñas tares, divertidas y que además le darán “ventaja de pensamiento”

1) Evidenciar cada una de las paradojas.

2) Demostraremos que

partimos de: 3>2

Va: Multiplicamos por log(1/2) a cada miembro:

3 log(1/2)>2 log(1/2)

Se acuerda, Don Sofío, de: nlogx=log(x)n, si?, bueno, pues usando esta propiedad de los logaritmos:

log(1/2)3> log(1/2)2

Ahora, nuevamente recurro a la sapiencia, adivinó, de Don Sofío, el logaritmo base 10 se anula con la exponencial de base, precisamente 10:

Nos queda:

(1/2)3>(1/2)2

Con lo cual queda “demostrado”

Cesar Ortega Juárez
Profesor-investigador del Instituto Politécnico Nacional

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